La fonction \( f(x) \) est définie pour toutes les valeurs de \( x \) sauf là où le dénominateur est égal à zéro.
Le dénominateur \( x^2 - 4 = 0 \) pour \( x = \pm 2 \).
Donc, le domaine de \( f(x) \) est \( x \in \mathbb{R} - \{-2, 2\} \).
Pour trouver les intersections avec l'axe des ordonnées, on évalue \( f(0) \) :
\( f(0) = 0 \)
L'intersection avec l'axe des ordonnées est donc au point \( (0;0) \).
Pour les intersections avec l'axe des abscisses, on résout \( f(x) = 0 \) :
\( \frac{x^3}{x^2 - 4} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
L'intersection avec l'axe des abscisses est également au point \( (0;0) \).
| \( x \) | \( x < -2 \) | \( -2 \) | \( -2 < x < 0 \) | \( 0 \) | \( 0 < x < 2 \) | \( 2 \) | \( 2 < x \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( + \) |
Les asymptotes verticales se trouvent aux valeurs de \( x \) où le dénominateur est nul :
Pour trouver les asymptotes horizontales, on examine la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers l'infini.
\( \lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3}{x^2 - 4} = \lim_{{x \to \infty}} x = \infty \)
Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale, mais une asymptote oblique.
Pour trouver les asymptotes obliques, on examine le comportement de \( f(x) \) pour \( x \) tendant vers l'infini :
\( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4} \approx x \) pour \( x \) grand.
Donc, l'équation de l'asymptote oblique est \( y = x \).
La dérivée de \( f(x) \) est trouvée en utilisant la règle du quotient :
\( f'(x) = \left( \frac{x^3}{x^2 - 4} \right)'= \frac{(x^2 - 4) \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} \)
Les points critiques se trouvent en résolvant \( f'(x) = 0 \) :
\( x^4 - 12x^2 = 0 \)
\( x^2 (x^2 - 12) = 0 \)
Donc, \( x = 0 \) ou \( x = \pm \sqrt{12} \).
Nous avons les points \( (0;0) \), \( ( \sqrt{12}; \sqrt{27}) \) et \( (-\sqrt{12};- \sqrt{27}) \)
On peut utiliser le test de la dérivée première pour déterminer les intervalles de croissance et décroissance.
| \( x \) | \( x < -\sqrt{12} \) | \( -\sqrt{12} \) | \( -\sqrt{12} < x < -2 \) | \( -2 \) | \( -2 < x < 0 \) | \( 0 \) | \( 0 < x < \sqrt{12} \) | \( \sqrt{12} \) | \( \sqrt{12} < x < 2 \) | \( 2 \) | \( 2 < x \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( - \) | \( 0 \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | \( \nearrow \) | \( \rightarrow \) | \( \searrow \) | \( \emptyset \) | \( \searrow \) | \( \rightarrow \) | \( \searrow \) | \( \emptyset \) | \( \searrow \) | \( \rightarrow \) | \( \nearrow \) |
La dérivée seconde de \( f(x) \) est trouvée en dérivant \( f'(x) \) :
\( f''(x) = \left( \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} \right)'= \frac{(4x^3-24x)\cdot (x^2 - 4)^2-(x^4 - 12x^2)\cdot 4x(x^2 - 4) }{((x^2 - 4)^2)^2} = \frac{(4x^3-24x)\cdot (x^2 - 4)-(x^4 - 12x^2)\cdot 4x }{(x^2 - 4)^3} = \frac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8x^3 + 96x}{(x^2 - 4)^3} \)
Les points d'inflexion se trouvent en résolvant \( f''(x) = 0 \).
\( 8x^3 + 96x = 0 \)
\( x (8x^2 + 96) = 0 \)
Donc, \( x = 0 \).
Nous avons le point \( (0;0) \)
On peut utiliser le test de la dérivée seconde pour déterminer les intervalles convexes et concave.
| \( x \) | \( x < -2 \) | \( -2 \) | \( -2 < x < 0 \) | \( 0 \) | \( 0 < x < 2 \) | \( 2 \) | \( 2 < x \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f''(x) \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( \emptyset \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | \( \bigcap \) | \( \emptyset \) | \( \bigcup \) | \( 0 \) | \( \bigcap \) | \( \emptyset \) | \( \bigcup \) |